Credit risk contributions under the Vasicek one-factor model: a fast wavelet expansion approximation

To measure the contribution of individual transactions inside the total risk of a credit portfolio is a major issue in financial institutions. VaR Contributions (VaRC) and Expected Shortfall Contributions (ESC) have become two popular ways of quantifying the risks. However, the usual Monte Carlo (MC) approach is known to be a very time consum- ing method for computing these risk contributions. In this paper we consider the Wavelet Approximation (WA) method for Value at Risk (VaR) computation presented in [Mas10] in order to calculate the Expected Shortfall (ES) and the risk contributions under the Vasicek one-factor model framework. We decompose the VaR and the ES as a sum of sensitivities representing the marginal impact on the total portfolio risk. Moreover, we present technical improvements in the Wavelet Approximation (WA) that considerably reduce the computa- tional effort in the approximation while, at the same time, the accuracy increasesPeer ReviewedPreprin

Haar Wavelets-Based Methods for Credit Risk Portfolio Modeling

In this dissertation we have investigated the credit risk measurement of a credit portfolio by means of the wavelets theory. Banks became subject to regulatory capital requirements under Basel Accords and also to the supervisory review process of capital adequacy, this is the economic capital. Concentration risks in credit portfolios arise from an unequal distribution of loans to single borrowers (name concentration) or different industry or regional sectors (sector concentration) and may lead banks to face bankruptcy. The Merton model is the basis of the Basel II approach, it is a Gaussian one-factor model such that default events are driven by a latent common factor that is assumed to follow the Gaussian distribution. Under this model, loss only occurs when an obligor defaults in a fixed time horizon. If we assume certain homogeneity conditions, this one-factor model leads to a simple analytical asymptotic approximation of the loss distribution function and VaR. The VaR value at a high confidence level is the measure chosen in Basel II to calculate regulatory capital. This approximation, usually called Asymptotic Single Risk Factor model (ASRF), works well for a large number of small exposures but can underestimates risks in the presence of exposure concentrations. Then, the ASRF model does not provide an appropriate quantitative framework for the computation of economic capital. Monte Carlo simulation is a standard method for measuring credit portfolio risk in order to deal with concentration risks. However, this method is very time consuming when the size of the portfolio increases, making the computation unworkable in many situations. In summary, credit risk managers are interested in how can concentration risk be quantified in short times and how can the contributions of individual transactions to the total risk be computed. Since the loss variable can take only a finite number of discrete values, the cumulative distribution function (CDF) is discontinuous and then the Haar wavelets are particularly well-suited for this stepped-shape functions. For this reason, we have developed a new method for numerically inverting the Laplace transform of the density function, once we have approximated the CDF by a finite sum of Haar wavelet basis functions. Wavelets are used in mathematical analysis to denote a kind of orthonormal basis with remarkable approximation properties. The difference between the usual sine wave and a wavelet may be described by the localization property, while the sine wave is localized in frequency domain but not in time domain, a wavelet is localized in both, frequency and time domain. Once the CDF has been computed, we are able to calculate the VaR at a high loss level. Furthermore, we have computed also the Expected Shortfall (ES), since VaR is not a coherent risk measure in the sense that it is not sub-additive. We have shown that, in a wide variety of portfolios, these measures are fast and accurately computed with a relative error lower than 1% when compared with Monte Carlo. We have also extended this methodology to the estimation of the risk contributions to the VaR and the ES, by taking partial derivatives with respect to the exposures, obtaining again high accuracy. Some technical improvements have also been implemented in the computation of the Gauss-Hermite integration formula in order to get the coefficients of the approximation, making the method faster while the accuracy remains. Finally, we have extended the wavelet approximation method to the multi-factor setting by means of Monte Carlo and quasi-Monte Carlo methods

Concepto categorial teleológico y sistema dogmático del moderno derecho penal económico y empresarial de los poderosos

Con anterioridad a la configuración del Derecho penal económico como un sistema más o menos completo de tipos penales orientados a la lesión o al peligro de bienes jurídicos en el curso de la actividad económica, la doctrina jurídico-penal no había cuestionado seriamente la legitimidad de los escasos y dispersos tipos de esta naturaleza existentes en las legislaciones penales. Sin embargo, cuando se consolida aquel sistema, ciertos sectores de la doctrina, como sobre todo la llamada Escuela de Frankfurt, lo descalifican como contrario a los principios y garantías del Estado de Derecho y le cuelgan la etiqueta de “moderno”. No obstante, la etiqueta de Derecho penal moderno se extiende asimismo a otros sectores de la intervención penal que nada tienen que ver con la economía, como las drogas, el terrorismo o la ingeniería genética, porque también en éstos la intervención penal se apartaría de las garantías del Estado de Derecho. En este artículo, en primer lugar se critica y se rechaza la extensión del concepto de Derecho penal moderno a fenómenos tan variados y heterogéneos que nada tienen que ver entre sí no sólo desde el punto de vista jurídico-dogmático, sino tampoco desde los puntos de vista empírico-criminológico y político-criminal. A continuación se formula la tesis de que el concepto de Derecho penal moderno debe quedar limitado exclusivamente al Derecho penal económico y de la empresa de los poderosos o de la clase alta. A partir de esta restricción, se rechazan contundentemente las opiniones que han pretendido establecer ciertas conexiones político-criminales entre el Derecho penal económico y empresarial y el llamado Derecho penal de la seguridad, que a menudo se solapa con el del enemigo. Según el punto de vista aquí adoptado, el “moderno” Derecho penal económico y de la empresa sería un producto absolutamente legítimo del Estado social de Derecho, por ser en todo conforme con las garantías materiales de éste, mientras que las formas antigarantistas de intervención penal que se pretenden justificar con la ideología de la seguridad ciudadana serían productos ilegítimos del Estado liberal de policía que pugna para desbancar al Estado social de Derecho. Mediante una réplica a ciertas críticas absolutamente infundadas que se han formulado contra el discurso de modernización del Derecho penal, se esboza una Dogmática del Derecho penal económico y empresarial de los poderosos que, en primer lugar, lo sistematiza y clasifica a partir de los criterios rectores del desvalor de la acción y del resultado constitutivos de los tipos penales económicos “básicos”, para derivar luego consecuencias específicas en los sucesivos niveles dogmáticos de la teoría del delito, es decir, en la configuración de tipos agravados o privilegiados, de circunstancias agravantes y atenuantes, y en los ámbitos de las causas de justificación y de la culpabilidad. De este modo el autor, a partir de la “idea” del Derecho y de la concreción de éste por medio de la analogía conforme a la naturaleza de la cosa, deriva el “concepto” del moderno Derecho penal económico y de la empresa de los poderosos, del cual, en tanto que concepto “clasificatorio” y “categorial”, pero también “teleológico”, queda totalmente excluida por razones materiales la criminalidad económica insignificante de los no poderosos

Ideas sobre la permeabilidad en estudiantes de magisterio

El análisis de las ideas sobre permeabilidad que presentan los estudiantes de magisterio muestra la existencia de diversas concepciones alternativas y esquemas conceptuales. Estas ideas alternativas no son consistentes con el significado semántico y científico del término. Las causas deben buscarse, entre otras, en la formación previa de los estudiantes, con un uso del término en la vida cotidiana diferente del científico y a la existencia de libros de texto con definiciones y modelos erróneos.The analysis of students' ideas about permeability was carried out among students from a university teacher training course. It shows several alternative conceptions and conceptual frameworks. Obstacles can be due, among others, to a different daily use of this concept during previous to a learning with respect to the scientific use and to incorrect definitions and models included in some textbooks